Moin
Eher etwas allgemeiner:
OK dann sollten die Voraussetzungen für den Zugriff der FB Tools Integration auf die FB passen und eigentlich müsstest Du dann da auch nichts weiter machen.
Wenn Du Dir mal meinen Screenshot zu Diagnose —> Sicherheit —> Heimnetz anschaust und dann Deinen Diagnose —> Sicherheit —> Portfreigaben auf Heimnetzgeräte solltest Du feststellen das Du an der falschen Stelle geschaut hast. 
Anm.: Auf das Thema LAN- und WAN-Freigaben und auf die Unterschiede gehe ich hier jetzt nicht weiter ein, weil die in dem Fall nichts mit Deinem Problem mit der FB Tools Integration zu tun haben.
Die Geräte die per LAN- und WLAN-Verbindung über eine FB im heimischen Netzwerk sind bauchen für einen Zugriff von, oder eine Einbindung bei HA, keine FB Tools. Sprich auch ohne FB Tools kann man natürlich alle LAN- und WLAN-Clients bei HA integrieren, sofern es dafür die passende HA Integrationen oder Addons gibt.
Die FB Tools sind nur dafür da eine paar Dinge, die man ansonsten im WebGUI der FB sehen oder machen kann, dann auch direkt unter HA sehen oder machen zu können. Aber das ist bei der Doku zu den FB Tools ja auch alles beschrieben.
Das die neue FB die gleiche IP hat wie die alte FB und das Du HA auch wieder die alte IP gegeben hast, war auch vollkommen richtig. Beides sind Grundvoraussetzungen damit Du nach einem Routerwechsel nicht so viele Dinge ändern, oder wieder neu einrichten musst. Allerdings müssen/sollten auch alle Geräte, die über die FB und deren DHCP-Server-Funktion eine IP bekommen, wieder ihre bisherige IP bekommen, sprich die IP die sie auch bei der alten FB hatten. Ansonsten sind Problem vorprogrammiert und Du wirst unter HA vermutlich noch das ein oder andere Gerät, oder den ein oder anderen auf eine IP basierten Dienst, wieder neu einrichten/konfigurieren müssen.
Da ich - wie gesagt - die FB Tools Integration nicht nutze, weiß ich auch nicht genau worüber genau diese bei HA eingebunden wird. Im Normalfall identifiziert HA ein Gerät nicht (nur) über die IP des Gerätes, sondern auch über die MAC-Adresse des Gerätes. Welche jetzt bei der neuen FB natürlich anders ist als bei der alten FB. Es kann also sein das man - wie hier der User @mr.speed geschrieben hat - die FB Tools tatsächlich löschen und dann wieder neu installieren muss, damit es funktioniert. Allerdings vermute ich das man das auch wieder ohne löschen und neu hinzufügen hinbekommen sollte und das es bei Dir eher um ein Problem mit dem Port und/oder dem FB Benutzernamen gibt. Aber das ist halt nur ene Vermutung von mir.
Anm.: Ich würde an Deiner Stelle auch nicht die Standard-Benutzernamen und somit Admin-Zugang zu der FB auch unter HA benutzen, sondern für HA einen extra Benutzer bei der FB anlegen.
Ansonsten solltest Du Dich noch einmal mit den ganzen Einstellungen bei der FB befassen, um besser zu wissen was wofür da ist, was wofür gebraucht wird usw., weil ich den Eindruck habe das Dein Wissen zu dem Thema doch noch die ein oder andere Lücke aufweist und es so passieren kann das Du a) ggf. etwas falsch machst, oder b) etwas machst was man gar nicht machen braucht oder sollte. Z.B. irgendeine Portfreigabe um vom Internet in Dein LAN zu gelangen, oder ähnliche Dinge.
Ja mein ganzer Text hier ist jetzt nicht die Lösung für Dein Problem,
nach dem Motto setz mal den Haken dort und dann funktionieren die FB Tools wieder, aber die FB Tools sind halt nur ein Thema bei einem Router-Wechsel und da gibt es auch noch mehr Dinge die eine Rolle spielen. Da ich die FB Tools aber nicht nutze kann ich Dir leider auch nicht “die” Lösung bieten.
VG Jim