Such einfach mal nach Home Assistant Dashboard Weather Background und Du findest div. Wege und Möglichkeiten wie man das umsetzen kann/könnte. Entweder aufwendig, oder wie von Dir bereits erwähnt einfach per Einbindung einer entsprechenden URL eines Wetterseitenanbieters als Hintergrund.
Hier habe ich eben z.B. mal als Test die URL mit dem Regenradar von https://morgenwirdes.de eingebunden.