Also Bild 1 kann ich voll bestätigen, lediglich den Schieber für genauen Standort verwenden, gibt es bei mir nicht.
bzgl. Bild 2 sieht das bei mir etwas anders aus und zwar so:
Hintergrundaktivitäten zulassen wäre evtl. von Vorteil 
Da stimme ich dir zu, aber wie du sehen kannst, ist der Schieber ausgegraut, warum auch immer
Bei Android 15: Einstellungen → Apps → Apps verwalten → Home Assistant → Details zur Akkunutzung →Starteinstellungen
Aber keine Ahnung, ob das bei deinem Phone auch so ist. Aber ein Äquivalent muss es geben irgendwo.
Ich habe Android 11. Bei mir ist der Hintergrundzugriff über eine anderes Menü aktiviert. Deswegen nehme ich an, dass mein Schalter ausgegraut ist. Er ist ja trotzdem auf aktiv gestellt, wenn auch grau.